$\lg \frac{1}{3} = -\lg 3$
了解对数的基本概念对于解答这个问题至关重要，对数是一种数学运算，用于求解一个数是另一个数的多少次方，在这个问题中，我们需要找到 \( x \)，使得 \( 10^x = \frac{1}{3} \)。
对数的定义与性质
对数函数 \( \log_b(a) \) 表示底数为 \( b \) 时，\( a \) 是多少次方，\( \log_{10}(100) = 2 \)，因为 \( 10^2 = 100 \)。
换底公式的应用
为了计算 \( \log(\frac{1}{3}) \)，我们可以使用换底公式：
\[
\log_b(a) = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)}
\]
在这个例子中，我们通常选择常用的底数 \( c \) 为 10（常用对数）或 \( e \)（自然对数），这里我们用常用对数进行计算：
\[
\log_{10}\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{\log_{10}(1) \log_{10}(3)}{\log_{10}(10)}
\]
由于 \( \log_{10}(1) = 0 \) 和 \( \log_{10}(10) = 1 \)，公式简化为：
\[
\log_{10}\left(\frac{1}{3}\right) = -\log_{10}(3)
\]
查找 \(\log_{10}(3)\) 的值
通过计算器或对数表，可以找到：
\[
\log_{10}(3) \approx 0.4771
\]
\[
\log_{10}\left(\frac{1}{3}\right) = -0.4771
\]
\[
\log_{10}\left(\frac{1}{3}\right) = -0.4771
\]
相关问答FAQs
问题1: 对数的定义是什么？
答：对数是一种数学运算，表示底数为某一数时，该数是多少次方等于另一个数，\( \log_b(a) \) 表示底数为 \( b \) 时，\( a \) 是多少次方。
问题2: 如何计算 \(\log_{10}\left(\frac{1}{3}\right)\)？
答：可以使用换底公式来计算，首先将分数形式转换为对数形式，然后应用换底公式：
\[
\log_{10}\left(\frac{1}{3}\right) = \log_{10}(1) \log_{10}(3) = 0 \log_{10}(3) = -\log_{10}(3)
\]
通过查找或计算得到 \(\log_{10}(3) \approx 0.4771\)，
\[
\log_{10}\left(\frac{1}{3}\right) = -0.4771
\]